АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ, СВЯЗАННЫХ С ОПЕРЕТОРОМ РАССЕЯНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 

Редькина Татьяна Валентиновна, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра прикладной математики и математического моделирования, Северо-Кавказский федеральный университет (Россия, г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1), E-mail: tvr59@mail.ru
Новикова Ольга Викторовна, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра информационной безопасности автоматизированных систем, Северо-Кавказский федеральный университет (Россия, г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1), E-mail: oly-novikova@yandex.ru 

517.957 

DOI

10.21685/2072-3040-2020-2-8 

Актуальность и цели. Множества нелинейных уравнений в частных производных, обладающих парой Лакса, являются либо точно интегрируемыми, либо уравнениями, допускающими богатые классы точных решений. Наиболее интересны с практической точки зрения исследования, способствующие развитию новых математических методов анализа нелинейных дифференциальных уравнений, в частности математической теории солитонов, которая имеет огромные перспективы в различных приложениях. Малоисследованным является обширный класс нелинейных многокомпонентных уравнений, имеющих важность прикладного характера. Целью настоящей статьи является анализ такого типа нелинейных уравнений, в частности уравнения трехволнового взаимодействия, а также построение их точных решений.
Материалы и методы. Анализ рассматриваемых нелинейных уравнений в частных производных, полученных при помощи операторного уравнения Лакса с дифференциальными операторами первого порядка и матричными коэффициентами третьего порядка, выполняется с помощью замены переменных. Данный метод позволяет классифицировать их по главной линейной части и привести исходные уравнения к более простому, эквивалентному виду, облегчающему дальнейшие исследования. Для отыскания точных решений применяется метод бегущих волн.
Результаты. Исследуемые нелинейные уравнения в частных производных второго порядка с логарифмической нелинейностью относятся к классу уравнений Клейна – Гордона и с помощью замены переменных их линейная часть преобразуется к гиперболическому виду. Найдены интегральные решения исследуемых уравнений в виде бегущих волн и решения, заданные неявно в виде ряда.
Выводы. Результаты представляют интерес для изучения нелинейных дифференциальных уравнений, обладающих парой Лакса, и могут использоваться при решении прикладных задач физики и техники. Данные результаты расширяют область возможностей для изучения задач математической теории солитонов и могут послужить основой для дальнейшего исследования и нахождения решений уравнений данного типа. 

Ключевые слова

нелинейные уравнения в частных производных, операторное уравнение Лакса, пара Лакса, нелинейные гиперболические уравнения, решения в виде бегущих волн 

 Скачать статью в формате PDF

1. Ablowitz, M. J. A. Solitons, nonlinear equations and inverse scattering / M. J. Ablowitz, P. A. Clarkson. – Cambridge : Cambridge University Press, 1991. – 516 p.
2. Богоявленский, О. И. Опрокидывающиеся солитоны в двумерных интегрируемых уравнениях / О. И. Богоявленский // Успехи математических наук. – 1990. – Т. 45, № 4 (274). – С. 17–77.
3. Calogero, F. A method to generate solvable nonlinear evolution equations / F. Calogero // Lett. Nuovo Cimento. – 1975. – Vol. 14. – P. 443–447.
4. Редькина, Т. В. Нелинейные уравнения, интегрируемые методами солитонной математики : монография / Т. В. Редькина. – LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013. – 161 с.
5. Редькина, Т. В. Комплексификация иерархии уравнения Кортевега – де Вриза : монография / Т. В. Редькина. – Ставрополь : Изд-во СКФУ, 2015. – 67 с.
6. Новикова, О. В. Исследование комплекснозначного нелинейного уравнения в частных производных / О. В. Новикова // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. – 2012. – № 4. – С. 160–166.
7. Новикова О. В. Исследование нелинейного комплексного дифференциального уравнения в частных производных, обладающего парой Лакса : дис. … канд. физ.-мат. наук : 01.01.02. – Воронеж, 2015. – 146 с.
8. Баданин, А. В. Оператор третьего порядка с периодическими коэффициентами на вещественной оси / А. В. Баданин, Е. Л. Коротяев // Алгебра и анализ. – 2013. – Т. 25, № 5. – С. 1–31.
9. Герджиков, В. С. О многокомпонентных уравнениях типа нелинейного уравнения Шредингера на симметричных пространствах и их редукциях / В. С. Герджиков, Г. Г. Граховски, Н. А. Костов // Теоретическая и математическая физика. – 2005. – Т. 144, № 2. – С. 313–323.
10. Герджиков, В. С. Многокомпонентные нелинейные уравнения Шредингера с постоянными граничными условиями / В. С. Герджиков, Н. А. Костов, Т. И. Валчев // Теоретическая и математическая физика. – 2009. – Т. 159, № 3. – С. 438–447.
11. On classification of soliton solutions of multicomponent nonlinear evolution equations / V. S. Gerdjikov, N. A. Kostov, T. I. Valcher, D. J. Kaup // Journal of Physics A-Mathematical and Theoretical. – 2008. – Vol. 41, № 31. – P. 1–36.
12. Gerdjikov, V. S. Reductions of multicomponent MKDV equations on symmetric spaces of DIII-type / V. S. Gerdjikov, N. A. Kostov // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. – 2008. – Vol. 4. – P. 1–30.
13. Су рнева, О. Б. Нелинейное уравнение, обладающее оператором рассеяния третьего порядка / О. Б. Сурнева, О. С. Яновская // Наука. Инновации. Технологии. – 2018. – № 3. – С. 37–52.
14. Лакс, П. Д. Интегралы нелинейных эволюционных уравнений и уединенные волны / П. Д. Лакс // Математика. – 1969. – Т. 13, № 5. – C. 128–150.
15. Бете, Г. Квантовая механика / Г. Бете. – Москва : Мир, 1965. – 333 с.
16. Полянин, А. Д. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики / А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев, А. И. Журов. – Москва : Физмат-лит, 2005. – 256 с.
17. Тарасевич, Ю. Ю. Нахождение и визуализация автомодельных решений дифференциальных уравнений в частных производных средствами Maple : метод. рекоменд. / Ю. Ю. Тарасевич. – Астрахань, 2010. – 23 с.